第 8 章草稿

不定积分

不定积分是导数的逆运算，也是下一章定积分计算的算法工具箱。本章先建立原函数（不定积分）的概念和基本性质，给出一张基本积分公式表；再系统讲授两种核心积分技法：换元积分法（用拼凑或正弦/有理式换元化简被积函数）和分部积分法（$\\int u\\,\\mathrm{d}v=uv-\\int v\\,\\mathrm{d}u$，适合乘积形式的被积函数）；最后讨论有理函数的部分分式分解，以及三角函数有理式和无理函数积分的有理化技巧。讲义、例子与题面均为自编或充分改写，公式用 LaTeX（四反斜线约定）。

4 个知识点

当前知识点

有理函数的积分

本节你将掌握

掌握有理函数 $P(x)/Q(x)$ （ $\deg P<\deg Q$ ）的部分分式分解法。
能对各类部分分式（一次因子、重因子、不可约二次因子）分别积分。
了解三角函数有理式和简单无理函数的有理化积分思路。

**部分分式分解**：任何有理真分式

P(x)/Q(x)

（

\deg P<\deg Q

，

Q

在

\mathbb{R}

上因式分解为一次因子和不可约二次因子之积）都可以分解为部分分式之和：一次因子

(x-a)^k

对应

\dfrac{A_1}{x-a}+\dfrac{A_2}{(x-a)^2}+\cdots+\dfrac{A_k}{(x-a)^k}

；不可约二次因子

(x^2+px+q)^m

对应

\dfrac{B_1 x+C_1}{x^2+px+q}+\cdots+\dfrac{B_m x+C_m}{(x^2+px+q)^m}

。确定系数用」比较系数法」或」代特殊值法」（Heaviside 掩盖法）。各类部分分式的积分：

\int\dfrac{1}{x-a}\,\mathrm{d}x=\ln|x-a|+C

；

\int\dfrac{1}{(x-a)^k}\,\mathrm{d}x=\dfrac{-1}{(k-1)(x-a)^{k-1}}+C

（

k\ge 2

）；

\int\dfrac{1}{x^2+a^2}\,\mathrm{d}x=\dfrac{1}{a}\arctan\dfrac{x}{a}+C

。**三角有理式**：

\int R(\sin x,\cos x)\,\mathrm{d}x

用万能换元

t=\tan(x/2)

，则

\sin x=2t/(1+t^2)

，

\cos x=(1-t^2)/(1+t^2)

，

\mathrm{d}x=2/(1+t^2)\mathrm{d}t

，化为有理函数积分。

练习

3 题

未学

有理函数的积分

思考题 · 检验理解