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第二型曲线积分（对坐标的积分）与 Green 公式

本节你将掌握

**第二型曲线积分**：

\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y=\int_\alpha^\beta[P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t)]\,\mathrm{d}t

。
物理意义：力场

(P,Q)

沿曲线

L

所做的功。**与方向有关**：

\int_{-L}=-\int_L

。
**Green 公式**：设

D

为有界闭区域，其边界

\partial D

的方向为正向（逆时针，使

D

在左侧）。若

P,Q

在

D

上有连续偏导数，则

\oint_{\partial D}P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,\mathrm{d}A.

**应用**：(1) 用二重积分计算曲线积分（化简）；(2) 面积公式

A=\frac{1}{2}\oint(x\,\mathrm{d}y-y\,\mathrm{d}x)

；(3) 补线法（添加辅助线使曲线封闭）。
**路径无关条件**：在单连通区域

D

内，以下等价：
1. 曲线积分

\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y

与路径无关（只与端点有关）。
2. 对

D

内任意闭曲线

C

：

\oint_C P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y=0

。
3.

D

内

P_y=Q_x

（混合偏导数相等）。
4. 存在

u

使

\mathrm{d}u=P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y

（恰当微分，

u

为势函数）。
**势函数求法**：

u(x,y)=\int_{x_0}^x P(t,y_0)\,\mathrm{d}t+\int_{y_0}^y Q(x,t)\,\mathrm{d}t

（折线路径积分）。