第 6 章草稿

微分中值定理及其应用

本章以可导函数的性质分析为主线。先通过 Fermat 引理建立极值的必要条件，进而证明 Rolle 定理，再推广为 Lagrange 中值定理与 Cauchy 中值定理。这三个定理统称微分中值定理，是连接导数与函数整体行为的桥梁。在应用层面：用 L'Hôpital 法则化解不定式极限；用 Taylor 公式把函数展开为多项式加余项，给出精确的局部近似；用导数符号分析函数单调性、极值、凹凸性与拐点。讲义、例子与题面均为自编或充分改写，公式用 LaTeX（四反斜线约定）。

5 个知识点

当前知识点

Cauchy 中值定理与 L'Hôpital 法则

本节你将掌握

理解 Cauchy 中值定理是 Lagrange 定理的参数化推广。
掌握 L'Hôpital 法则求 $0/0$ 和 $\infty/\infty$ 型不定式极限。
能把其他不定式（ $0\cdot\infty$ 、 $\infty-\infty$ 、 $1^\infty$ 、 $0^0$ 、 $\infty^0$ ）转化后应用 L'Hôpital 法则。

**Cauchy 中值定理**：若

f,g\in C[a,b]

，在

(a,b)

可导，

g'(x)\ne 0

，则

\exists\,\xi\in(a,b)

使

\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}

。取

g(x)=x

即退化为 Lagrange 定理；参数曲线解释：弦的斜率等于曲线在某点的切线斜率之比。**L'Hôpital 法则（

0/0

型）**：若

\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=0

，且

f,g

在

a

附近可导，

g'\ne 0

，且

\lim_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=L

（有限或无穷），则

\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=L

。

\infty/\infty

型有类似结论。其他类型的转化：

0\cdot\infty

→ 写成

f/(1/g)

或

g/(1/f)

；

\infty-\infty

→ 通分；

1^\infty,0^0,\infty^0

→ 取对数化为

0\cdot\infty

型。注意：L'Hôpital 法则是充分条件，

f'/g'

极限不存在不意味

f/g

极限不存在（要用其他方法）。

练习

2 题

未学

Cauchy 中值定理与 L'Hôpital 法则

思考题 · 检验理解