第 6 章草稿

微分中值定理及其应用

本章以可导函数的性质分析为主线。先通过 Fermat 引理建立极值的必要条件，进而证明 Rolle 定理，再推广为 Lagrange 中值定理与 Cauchy 中值定理。这三个定理统称微分中值定理，是连接导数与函数整体行为的桥梁。在应用层面：用 L'Hôpital 法则化解不定式极限；用 Taylor 公式把函数展开为多项式加余项，给出精确的局部近似；用导数符号分析函数单调性、极值、凹凸性与拐点。讲义、例子与题面均为自编或充分改写，公式用 LaTeX（四反斜线约定）。

5 个知识点

当前知识点

Taylor 公式

本节你将掌握

理解 Taylor 公式的含义：用 $n$ 次多项式近似函数，余项描述误差。
掌握 Peano 余项形式与 Lagrange 余项形式，理解其使用场合。
熟悉 $e^x$ 、 $\sin x$ 、 $\cos x$ 、 $\ln(1+x)$ 、 $(1+x)^\alpha$ 在 $x=0$ 处的 Maclaurin 展开。
能用 Taylor 展开求高阶极限或估算近似误差。

Lagrange 中值定理给出一阶近似

f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)

；Taylor 公式把这推广到

n

阶：

f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+R_n(x),

其中

R_n

是余项。**Peano 余项**：

R_n(x)=o((x-x_0)^n)

（

x\to x_0

），只说余项是

(x-x_0)^n

的高阶无穷小，用于求极限（不知道余项的绝对大小）。**Lagrange 余项**：

R_n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}

（

\xi

在

x_0,x

之间），给出余项的具体上界，用于误差估算。常用 Maclaurin 展开（

x_0=0

）：

e^x=\sum_{k=0}^n\dfrac{x^k}{k!}+o(x^n)

；

\sin x=\sum_{k=0}^n\dfrac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}+o(x^{2n+2})

；

\cos x=\sum_{k=0}^n\dfrac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}+o(x^{2n+1})

；

\ln(1+x)=\sum_{k=1}^n\dfrac{(-1)^{k-1}x^k}{k}+o(x^n)

；

(1+x)^\alpha=\sum_{k=0}^n\binom{\alpha}{k}x^k+o(x^n)

。

练习

2 题

未学

Taylor 公式

思考题 · 检验理解