数学分析

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第 6 章草稿

微分中值定理及其应用

本章以可导函数的性质分析为主线。先通过 Fermat 引理建立极值的必要条件，进而证明 Rolle 定理，再推广为 Lagrange 中值定理与 Cauchy 中值定理。这三个定理统称微分中值定理，是连接导数与函数整体行为的桥梁。在应用层面：用 L'Hôpital 法则化解不定式极限；用 Taylor 公式把函数展开为多项式加余项，给出精确的局部近似；用导数符号分析函数单调性、极值、凹凸性与拐点。讲义、例子与题面均为自编或充分改写，公式用 LaTeX（四反斜线约定）。

5 个知识点

当前知识点

函数的单调性与极值

本节你将掌握

  • 掌握用导数符号判断函数单调性：f′>0f'>0 → 单调递增，f′<0f'<0 → 单调递减。
  • 掌握极值的一阶充分条件（导数变号）与二阶充分条件（f′=0f'=0 且 f′′≠0f''\ne 0）。
  • 能求函数在给定区间上的极值和最大值、最小值。
由 Lagrange 定理：若 f′(x)>0f'(x)>0 在 (a,b)(a,b) 上恒成立，则对任意 x1<x2x_1<x_2 在 (a,b)(a,b) 内，f(x2)−f(x1)=f′(ξ)(x2−x1)>0f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1)>0，故 ff 在 (a,b)(a,b) 单调递增；f′<0f'<0 类推。极值点的**必要条件**（Fermat 引理）：可导极值点处 f′=0f'=0（驻点）。驻点不一定是极值（如 f(x)=x3f(x)=x^3 在 x=0x=0），还要看导数变号情况。**一阶充分条件**：在驻点 x0x_0 的邻域内，f′f' 从正变负 → 极大；从负变正 → 极小；不变号 → 不是极值。**二阶充分条件**：若 f′(x0)=0f'(x_0)=0，f′′(x0)>0f''(x_0)>0 → 极小值；f′′(x0)<0f''(x_0)<0 → 极大值；f′′(x0)=0f''(x_0)=0 → 此条件失效，退回一阶。**最大/最小值**在闭区间上：比较所有驻点、不可导点（含端点）的函数值，最大者为最大值，最小者为最小值。

练习

3 题
未学