第 6 章草稿

微分中值定理及其应用

本章以可导函数的性质分析为主线。先通过 Fermat 引理建立极值的必要条件，进而证明 Rolle 定理，再推广为 Lagrange 中值定理与 Cauchy 中值定理。这三个定理统称微分中值定理，是连接导数与函数整体行为的桥梁。在应用层面：用 L'Hôpital 法则化解不定式极限；用 Taylor 公式把函数展开为多项式加余项，给出精确的局部近似；用导数符号分析函数单调性、极值、凹凸性与拐点。讲义、例子与题面均为自编或充分改写，公式用 LaTeX（四反斜线约定）。

5 个知识点

当前知识点

函数的凸性与拐点

本节你将掌握

掌握函数凸性（上凸/下凸）的定义及用二阶导数判断： $f''>0$ → 下凸（凹）， $f''<0$ → 上凸（凸）。
理解拐点的定义：凸性改变的点，二阶导数变号处。
能画出函数的完整草图（含单调性、极值、凹凸性、拐点、渐近线）。

函数的**凸性**描述曲线的弯曲方向。定义（下凸，也称凹）：若对

(a,b)

内任意

x_1<x_2

，总有

f\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)\le\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}

（中点处函数值不超过两端点均值），则称

f

在

(a,b)

上是下凸的（凹的）；反之为上凸。用二阶导数判别（定理）：若

f''(x)>0

在

(a,b)

上恒成立，则

f

在

(a,b)

下凸；

f''<0

则上凸。几何解释：

f''>0

意味斜率递增，曲线越来越」向上弯」（像

y=x^2

，碗形）。**拐点**是凸性改变的点：

f''

在

x_0

处变号（从正到负或从负到正）。拐点处

f''(x_0)=0

或不存在，但

f''=0

不一定是拐点（要看变号，如

y=x^4

在

x=0

：

f''(0)=0

但无变号）。**函数作图**综合以上内容：找定义域、奇偶性、周期性；求渐近线（水平、垂直、斜）；求

f'

确定单调区间和极值；求

f''

确定凹凸区间和拐点；描关键点连曲线。

练习

2 题

未学

微分中值定理及其应用

函数的凸性与拐点

教学图示

思考题 · 检验理解