第 21 章草稿

重积分

3 个知识点

当前知识点

二重积分的概念与计算（直角坐标）

本节你将掌握

**二重积分定义**：

\iint_D f(x,y)\,\mathrm{d}A=\lim_{\lambda\to 0}\sum_i f(\xi_i,\eta_i)\Delta A_i

（

\Delta A_i

为小块面积，

\lambda

为最大直径）。几何意义：

f\geq 0

时为曲顶柱体的体积。
**

X

-型区域**：

D=\{(x,y):\,a\leq x\leq b,\,\varphi_1(x)\leq y\leq\varphi_2(x)\}

，

\iint_D f\,\mathrm{d}A=\int_a^b\,\mathrm{d}x\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)\,\mathrm{d}y.

Y

-型区域**：

D=\{(x,y):\,c\leq y\leq d,\,\psi_1(y)\leq x\leq\psi_2(y)\}

，先对

x

积分后对

y

。
**对称性简化**：
-

D

关于

y

轴对称，

f(-x,y)=-f(x,y)

（

x

的奇函数）：

\iint_D f\,\mathrm{d}A=0

。
-

D

关于

y

轴对称，

f(-x,y)=f(x,y)

（

x

的偶函数）：

\iint_D f=2\iint_{D_+}f

。
-

D

关于直线

y=x

对称：

\iint_D f(x,y)\,\mathrm{d}A=\iint_D f(y,x)\,\mathrm{d}A

（换序不变）。

练习

3 题

未学