第 21 章草稿

重积分

3 个知识点

当前知识点

二重积分的极坐标变换与变量变换

本节你将掌握

**极坐标变换**：

x=r\cos\theta,y=r\sin\theta

，Jacobi 行列式

J=r

，故

\iint_D f(x,y)\,\mathrm{d}A=\iint_{D'} f(r\cos\theta,r\sin\theta)\cdot r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.

（不要忘记额外的

r

！）
**极坐标适用场景**：被积函数含

x^2+y^2

，或积分区域为圆、扇形、圆环等。
**一般变量变换**：

x=x(u,v),y=y(u,v)

，Jacobi 行列式

J=\partial(x,y)/\partial(u,v)=\det\begin{pmatrix}x_u&x_v\\y_u&y_v\end{pmatrix}

，

\iint_D f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\iint_{D'}f(x(u,v),y(u,v))|J|\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v.

**常用变换**：椭圆

x=ar\cos\theta,y=br\sin\theta

（

J=abr

）；仿射变换（线性变换，

J=

常数）。

练习

2 题

未学