第 21 章草稿

重积分

3 个知识点

当前知识点

三重积分与重积分应用

本节你将掌握

掌握三重积分的计算（投影法、截面法、柱坐标、球坐标）
能用重积分求体积、质心、转动惯量
掌握球坐标变换

**三重积分**：

\iiint_V f(x,y,z)\,\mathrm{d}V

，

\mathrm{d}V=\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z

。
**投影法（

Z

-型区域）**：

\iiint_V f\,\mathrm{d}V=\iint_{D_{xy}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f\,\mathrm{d}z

（先对

z

积分，再对

xy

平面做二重积分）。
**截面法**：

\iiint_V f\,\mathrm{d}V=\int_a^b\,\mathrm{d}z\iint_{D_z}f(x,y,z)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y

（先对截面

D_z

做二重积分，再对

z

积分）。
**柱坐标**：

x=r\cos\theta,y=r\sin\theta,z=z

，

\mathrm{d}V=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z

（适用于圆柱对称区域）。
**球坐标**：

x=\rho\sin\varphi\cos\theta,y=\rho\sin\varphi\sin\theta,z=\rho\cos\varphi

（

\rho\geq 0,\varphi\in[0,\pi],\theta\in[0,2\pi]

），

\mathrm{d}V=\rho^2\sin\varphi\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta

（适用于球、锥等球对称区域）。
**应用**：
- 体积：

V=\iiint_D\,\mathrm{d}V

；质量：

m=\iiint_D\rho(x,y,z)\,\mathrm{d}V

。
- 质心：

\bar{x}=\iiint x\rho\,\mathrm{d}V/m

。
- 转动惯量（对

z

轴）：

I_z=\iiint(x^2+y^2)\rho\,\mathrm{d}V

。

练习

3 题

未学