数学分析 · 同步精读工作台

当前知识点

可微性、偏导数与全微分

本节你将掌握

**偏导数**：

f_x(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}

（固定

y

，对

x

求导）。记法：

\partial f/\partial x

，

f_x

，

D_1f

。
**可微性（全微分）**：

f

在

(x_0,y_0)

可微

\iff

\Delta f=f_x\Delta x+f_y\Delta y+o(\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2})

（增量可以线性近似）。全微分

\mathrm{d}f=f_x\,\mathrm{d}x+f_y\,\mathrm{d}y

。
**可微 vs 偏导数存在**：
- 可微

\Rightarrow

偏导数存在（反之不真）。
- 偏导数存在**且连续**

\Rightarrow

可微（充分条件，较强但常用）。
- 可微

\Rightarrow

连续；偏导数存在

\not\Rightarrow

连续。
**高阶偏导数**：

f_{xy}=\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}

（先对

x

，再对

y

）。
**混合偏导数相等定理**：若

f_{xy}

和

f_{yx}

在

(x_0,y_0)

处都连续，则

f_{xy}(x_0,y_0)=f_{yx}(x_0,y_0)

。
**应用：切平面与法线**：可微函数

z=f(x,y)

在

(x_0,y_0,z_0)

处的切平面方程：

z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)

；法线方向向量

(-f_x,-f_y,1)

。