数学分析

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第 17 章草稿

多元函数微分学

4 个知识点

当前知识点

复合函数微分法（链式法则）

本节你将掌握

  • 掌握多元复合函数的链式法则
  • 掌握全导数公式和全微分形式不变性
  • 能处理含隐函数的微分（直接法和公式法）
**链式法则（基本形式）**：若 z=f(u,v)z=f(u,v)，u=u(x,y)u=u(x,y)，v=v(x,y)v=v(x,y)，则
∂z∂x=∂f∂u∂u∂x+∂f∂v∂v∂x,∂z∂y=∂f∂u∂u∂y+∂f∂v∂v∂y.\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x},\quad\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}.

**全导数**：若 z=f(x,y(x))z=f(x,y(x))，则 dzdx=fx+fydydx\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=f_x+f_y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}。
**全微分形式不变性**：无论 x,yx,y 是自变量还是中间变量，df=fx dx+fy dy\mathrm{d}f=f_x\,\mathrm{d}x+f_y\,\mathrm{d}y 形式不变（与一元相同）。
**隐函数微分（直接法）**：F(x,y)=0F(x,y)=0 两边对 xx 求导，Fx+Fydydx=0F_x+F_y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0，得 dy/dx=−Fx/Fy\mathrm{d}y/\mathrm{d}x=-F_x/F_y（Fy≠0F_y\neq 0）。二元 F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0：∂z/∂x=−Fx/Fz\partial z/\partial x=-F_x/F_z，∂z/∂y=−Fy/Fz\partial z/\partial y=-F_y/F_z。
**常用变量变换**：极坐标 x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θx=r\cos\theta,y=r\sin\theta 时，利用链式法则得 ∂/∂r\partial/\partial r 和 ∂/∂θ\partial/\partial\theta 的表达式。

练习

2 题
未学