数学分析 · 同步精读工作台

当前知识点

方向导数与梯度

本节你将掌握

**方向导数**：

f

在

(x_0,y_0)

沿方向

\boldsymbol{l}=(\cos\alpha,\cos\beta)

（单位向量）的方向导数：

\frac{\partial f}{\partial\boldsymbol{l}}=\lim_{t\to 0^+}\frac{f(x_0+t\cos\alpha,y_0+t\cos\beta)-f(x_0,y_0)}{t}.

若

f

在

(x_0,y_0)

可微，则

\frac{\partial f}{\partial\boldsymbol{l}}=f_x\cos\alpha+f_y\cos\beta

（与方向余弦的内积）。
**梯度**：

\nabla f=\mathrm{grad}\,f=(f_x,f_y)

（向量）。方向导数

\partial f/\partial\boldsymbol{l}=\nabla f\cdot\boldsymbol{l}=|\nabla f|\cos\varphi

（

\varphi

是

\boldsymbol{l}

与梯度的夹角）。
**梯度的几何意义**：
-

\varphi=0

（沿梯度方向）时方向导数最大，等于

|\nabla f|

。
-

\varphi=\pi

（逆梯度）时方向导数最小（最负）。
-

\varphi=\pi/2

（垂直梯度）时方向导数为零（沿等值线方向）。
梯度方向垂直于等值线（曲面

f=c

的切线），指向函数值增大方向。
**

n

元推广**：

\nabla f=(f_{x_1},\ldots,f_{x_n})

，方向余弦

(\cos\alpha_1,\ldots,\cos\alpha_n)

（

\sum\cos^2\alpha_i=1

）。