数学分析

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第 17 章草稿

多元函数微分学

4 个知识点

当前知识点

多元函数的泰勒公式与极值

本节你将掌握

  • 了解二元函数的 Taylor 公式（二阶）
  • 掌握二元函数极值的必要条件（驻点）和充分条件（Hessian 行列式）
  • 能求二元函数的极值
**二元函数 Taylor 公式（二阶）**：f(x0+h,y0+k)=f(x0,y0)+(fxh+fyk)+12(fxxh2+2fxyhk+fyyk2)+O(r3)f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+(f_xh+f_yk)+\frac{1}{2}(f_{xx}h^2+2f_{xy}hk+f_{yy}k^2)+O(r^3)（r=h2+k2r=\sqrt{h^2+k^2}）。
**极值的必要条件**：若 (x0,y0)(x_0,y_0) 是极值点，则 fx(x0,y0)=0f_x(x_0,y_0)=0，fy(x0,y0)=0f_y(x_0,y_0)=0（驻点）。
**极值的充分条件**：设 (x0,y0)(x_0,y_0) 是驻点，令 A=fxxA=f_{xx}，B=fxyB=f_{xy}，C=fyyC=f_{yy}（均在 (x0,y0)(x_0,y_0) 处），Δ=B2−AC\Delta=B^2-AC：
- Δ<0\Delta<0，A<0A<0：极大值。
- Δ<0\Delta<0，A>0A>0：极小值。
- Δ>0\Delta>0：鞍点（非极值）。
- Δ=0\Delta=0：无法判断，需进一步分析。
**Hessian 矩阵**：H=(fxxfxyfyxfyy)H=\begin{pmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\f_{yx}&f_{yy}\end{pmatrix}，判别式 Δ=fxy2−fxxfyy=−det⁡H\Delta=f_{xy}^2-f_{xx}f_{yy}=-\det H。det⁡H>0\det H>0 时二次型不定（鞍点）；det⁡H<0\det H<0 时正定（极小）或负定（极大）。

练习

2 题
未学