数学分析

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第 16 章草稿

多元函数的极限与连续

3 个知识点

当前知识点

二元函数的极限

本节你将掌握

  • 掌握二元函数极限的 ε\varepsilon-δ\delta 定义
  • 理解二元极限与一元极限的本质区别：路径无关性
  • 掌握极限不存在的证明方法（取不同路径）
**二元函数极限定义**：
lim⁡(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=A  ⟺  ∀ε>0, ∃δ>0: 0<(x−x0)2+(y−y0)2<δ⇒∣f(x,y)−A∣<ε.\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=A \iff \forall\varepsilon>0,\,\exists\delta>0:\,0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta\Rightarrow|f(x,y)-A|<\varepsilon.

**关键区别**：(x,y)→(x0,y0)(x,y)\to(x_0,y_0) 意味着点 (x,y)(x,y) 以**任意方式**趋近 (x0,y0)(x_0,y_0)，不仅是沿坐标轴方向。
**极限不存在的证明**：若沿两条不同路径的极限值不同，则极限不存在。常用路径：直线 y=kxy=kx，抛物线 y=kx2y=kx^2，曲线 y=xny=x^n。
**注意**：沿所有直线 y=kxy=kx 的极限相同，**不能**断定极限存在（可能沿更复杂路径不同）。
**极限的运算**：若 lim⁡f=A\lim f=A，lim⁡g=B\lim g=B，则 f±g,fg,f/gf\pm g,fg,f/g（B≠0B\neq 0）的极限成立，规则与一元相同。
**夹逼原理**：若 g≤f≤hg\leq f\leq h 且 lim⁡g=lim⁡h=A\lim g=\lim h=A，则 lim⁡f=A\lim f=A。常用不等式：∣xy∣≤(x2+y2)/2|xy|\leq(x^2+y^2)/2，∣sin⁡t∣≤∣t∣|\sin t|\leq|t|，x2+y2≥∣x∣,∣y∣\sqrt{x^2+y^2}\geq|x|,|y|。

练习

3 题
未学