数学分析 · 同步精读工作台

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二元函数的连续性与有界闭域上的性质

本节你将掌握

**连续性定义**：

f

在

(x_0,y_0)

连续

\iff

\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)

（极限存在且等于函数值）。
**间断点**：极限不存在，或极限存在但不等于函数值，或函数无定义的点均为间断点（二元函数的间断点一般为曲线，而非孤立点）。
**二元初等函数**：由

x,y

的基本初等运算和初等函数（

e^x,\ln x,\sin x,\ldots

）经有限次四则和复合构成，在其**定义域**内处处连续。求极限可直接代入（若为初等函数且在该点有定义）。
**有界闭区域上的连续函数**：设

D

为有界闭区域，

f:D\to\mathbb{R}

连续，则：
1. **有界性定理**：

f

在

D

上有界（

\exists M:\,|f|\leq M

）。
2. **最值定理（最大最小值定理）**：

f

在

D

上能取到最大值和最小值。
3. **介值定理**：若

m=\min f

，

M=\max f

，则对任意

c\in[m,M]

，存在

P\in D

使

f(P)=c

。
这三个定理是一元连续函数对应定理的推广，证明依赖于

\mathbb{R}^n

中有界闭集的紧致性（Heine-Borel）。