数学分析

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第 12 章草稿

数项级数

3 个知识点

当前知识点

正项级数的收敛判别法

本节你将掌握

  • 掌握比较判别法（直接比较和极限比较）
  • 掌握比值判别法（D'Alembert 判别法）
  • 掌握根值判别法（Cauchy 判别法）
  • 了解积分判别法（Cauchy-Maclaurin）
设 an≥0a_n\geq 0（正项级数），{Sn}\{S_n\} 单调不减，收敛当且仅当有界。
**比较判别法**：若 0≤an≤bn0\leq a_n\leq b_n，∑bn\sum b_n 收敛则 ∑an\sum a_n 收敛；∑an\sum a_n 发散则 ∑bn\sum b_n 发散。
**极限比较**：若 lim⁡n→∞anbn=L\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L，0<L<+∞0<L<+\infty，则 ∑an\sum a_n 与 ∑bn\sum b_n 同敛散。
**比值判别法（D'Alembert）**：lim⁡n→∞an+1an=r\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=r。
- r<1r<1：∑an\sum a_n 收敛
- r>1r>1：∑an\sum a_n 发散
- r=1r=1：不确定
**根值判别法（Cauchy）**：lim⁡n→∞ann=r\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=r，判断规则与比值判别相同。
根值判别法比比值判别法更强（根值确定时比值也能确定，反之不然）。
**积分判别法**：若 f:[1,+∞)→[0,+∞)f:[1,+\infty)\to[0,+\infty) 单调递减，且 an=f(n)a_n=f(n)，则 ∑n=1∞an\sum_{n=1}^\infty a_n 与 ∫1+∞f(x) dx\int_1^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x 同敛散。
典型应用：∑n−p\sum n^{-p} 由积分判别法（∫1∞x−p\int_1^\infty x^{-p}）得 p>1p>1 收敛，p≤1p\leq 1 发散。

练习

5 题
未学