数学分析

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第 12 章草稿

数项级数

3 个知识点

当前知识点

一般项级数的收敛判别

本节你将掌握

  • 掌握交错级数的 Leibniz 判别法
  • 理解绝对收敛与条件收敛的关系
  • 了解 Dirichlet 判别法和 Abel 判别法
**交错级数**：形如 ∑n=1∞(−1)n−1an\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}a_n（an>0a_n>0）的级数。
**Leibniz 判别法**：若 {an}\{a_n\} 单调递减且 an→0a_n\to 0，则交错级数收敛，且余项估计 ∣rn∣≤an+1|r_n|\leq a_{n+1}。
典型：∑n=1∞(−1)n−1n=ln⁡2\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n}=\ln 2（条件收敛）。
**绝对收敛**：若 ∑∣an∣\sum|a_n| 收敛，则称 ∑an\sum a_n 绝对收敛，且 ∑an\sum a_n 也收敛。
**条件收敛**：∑an\sum a_n 收敛但 ∑∣an∣\sum|a_n| 发散。
**绝对收敛 vs 条件收敛**：绝对收敛的级数可以任意重排项，和不变（Riemann 重排定理：条件收敛的级数可通过重排使和为任意值！）
**Dirichlet 判别法（级数版）**：若 An=∑k=1nakA_n=\sum_{k=1}^n a_k 有界，{bn}\{b_n\} 单调趋零，则 ∑anbn\sum a_n b_n 收敛。
**Abel 判别法（级数版）**：若 ∑an\sum a_n 收敛，{bn}\{b_n\} 单调有界，则 ∑anbn\sum a_n b_n 收敛。

练习

4 题
未学