数学分析

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第 19 章草稿

含参量积分

3 个知识点

当前知识点

含参量反常积分（一致收敛）

本节你将掌握

  • 掌握含参量反常积分一致收敛的定义和判别法
  • 理解一致收敛的重要性（连续性、可微性的条件）
  • 掌握 Weierstrass M-检验、Dirichlet/Abel 判别法
**含参量反常积分**：I(α)=∫a+∞f(x,α) dxI(\alpha)=\int_a^{+\infty}f(x,\alpha)\,\mathrm{d}x（上限为无穷大，或被积函数有奇点）。
**一致收敛定义**：I(α)I(\alpha) 在 [α1,α2][\alpha_1,\alpha_2] 上**一致收敛**   ⟺  \iff ∀ε>0, ∃A0\forall\varepsilon>0,\,\exists A_0，当 A>A0A>A_0 时，对所有 α∈[α1,α2]\alpha\in[\alpha_1,\alpha_2] 均有 ∣∫A+∞f(x,α) dx∣<ε\left|\int_A^{+\infty}f(x,\alpha)\,\mathrm{d}x\right|<\varepsilon（尾部对参数一致小）。
**判别法**：
- **Weierstrass M-检验**：若 ∣f(x,α)∣≤M(x)|f(x,\alpha)|\leq M(x) 且 ∫a+∞M(x) dx<∞\int_a^{+\infty}M(x)\,\mathrm{d}x<\infty，则一致收敛（绝对且一致）。
- **Dirichlet 判别法**：若 F(x,α)=∫axf(t,α) dtF(x,\alpha)=\int_a^x f(t,\alpha)\,\mathrm{d}t 一致有界，g(x,α)g(x,\alpha) 对 xx 单调趋零且一致，则 ∫f⋅g\int f\cdot g 一致收敛。
- **Abel 判别法**：若 ∫f(x,α)\int f(x,\alpha) 一致收敛，g(x,α)g(x,\alpha) 对 xx 单调且关于 α\alpha 一致有界，则 ∫f⋅g\int f\cdot g 一致收敛。
**一致收敛的性质**：
- **连续性**：若 f(x,α)f(x,\alpha) 连续且 I(α)I(\alpha) 一致收敛，则 I(α)I(\alpha) 连续。
- **可微性**：若 fαf_\alpha 连续且 ∫fα\int f_\alpha 一致收敛，则 I′(α)=∫fα dxI'(\alpha)=\int f_\alpha\,\mathrm{d}x（积分号下求导）。
- **可积性**：一致收敛时可交换积分顺序。

练习

2 题
未学