含参量积分

**Γ 函数**：$\Gamma(s)=\int_0^{+\infty}x^{s-1}e^{-x}\,\mathrm{d}x$（$s>0$）。
主要性质：$\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$，$\Gamma(1)=1$，$\Gamma(n+1)=n!$，$\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$。

**B 函数**：$B(p,q)=\int_0^1 t^{p-1}(1-t)^{q-1}\,\mathrm{d}t$（$p,q>0$）。
对称性：$B(p,q)=B(q,p)$。等价表示：$B(p,q)=\int_0^{+\infty}\frac{u^{p-1}}{(1+u)^{p+q}}\,\mathrm{d}u$（令 $t=u/(1+u)$）。

**核心关系式**：$B(p,q)=\dfrac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$。

**应用**：
- $\int_0^{\pi/2}\sin^{2m-1}\theta\cos^{2n-1}\theta\,\mathrm{d}\theta=\frac{1}{2}B(m,n)=\frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{2\Gamma(m+n)}$。
- Wallis 公式 $\int_0^{\pi/2}\sin^n\theta\,\mathrm{d}\theta=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\cdot\frac{\Gamma((n+1)/2)}{\Gamma(n/2+1)}$。
- 高斯积分 $\int_0^{+\infty}e^{-x^2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\Gamma(1/2)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$（令 $x^2=t$）。