第 14 章草稿

幂级数

3 个知识点

当前知识点

幂级数的运算与性质

本节你将掌握

**连续性**：

f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n

在收敛域内连续（由 Abel 定理，任意闭子区间上一致收敛）。
**逐项微分**：

f'(x)=\sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1}

，收敛半径不变（端点可能有变化）。

\left(\sum a_n x^n\right)'=\sum n a_n x^{n-1}

（对

|x|<R

）。
**逐项积分**：

\int_0^x f(t)\,\mathrm{d}t=\sum_{n=0}^\infty\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}

，收敛半径不变。
**关键推论**：幂级数在收敛域内有无穷阶导数，且各阶导数仍是幂级数（可多次微分）。
**Abel 连续性定理**：若

\sum a_n R^n

收敛（

R

为收敛半径），则

f(x)\to f(R)

当

x\to R^-

（Abel 求和，可用于计算某些级数的和）。
例：

\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n}=\ln 2

（由

f(x)=\ln(1+x)=\sum(-1)^{n-1}x^n/n

，令

x=1

，Abel 连续性保证

f(1^-)=f(1)

）。

练习

3 题

未学