数学分析 · 同步精读工作台

当前知识点

函数的幂级数展开

本节你将掌握

**Taylor 级数**：若

f

在

x_0

附近有各阶导数，则

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n

成立的充要条件是余项

R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\to 0

（

n\to\infty

）。
**五个基本 Maclaurin 展开**（

x_0=0

）：

e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots \quad x\in(-\infty,+\infty)

\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots \quad x\in(-\infty,+\infty)

\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots \quad x\in(-\infty,+\infty)

\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots \quad x\in(-1,1]

(1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n \quad x\in(-1,1)\text{（$\alpha$ 为实数，}\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}\text{）}

**间接展开法**：通过对已知展开式作代换（

x\to -x^2

等）、积分、微分，避免重新算余项。
例：

\frac{1}{1+x^2}=\sum(-1)^n x^{2n}

，积分得

\arctan x=\sum\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}

（

x\in[-1,1]

）。