数学分析

同步精读工作台

讲义 · 追问 · 练习 · 批改

第 7 章草稿

实数的完备性

本章把前几章」预告」过但未严格证明的几个核心定理补齐证明，同时揭示实数完备性的多种等价刻画。六个基本定理相互等价：确界原理（Dedekind 完备性）、单调有界定理（用于数列）、闭区间套定理（Cantor 定理）、Bolzano–Weierstrass 聚点定理、Cauchy 收敛准则、有限覆盖定理（Heine–Borel）。以确界原理为出发点，依次推导其他定理，并将闭区间上连续函数的有界性定理、最值定理、一致连续性定理、介值定理和零点定理严格证明。讲义、例子与题面均为自编或充分改写，公式用 LaTeX（四反斜线约定）。

5 个知识点

当前知识点

闭区间套定理与 Cauchy 收敛准则

本节你将掌握

  • 掌握闭区间套定理（Cantor 定理）：嵌套闭区间序列有公共点，若区间长度趋零则公共点唯一。
  • 掌握 Cauchy 收敛准则：数列收敛当且仅当它是 Cauchy 列（任意两项最终任意接近）。
  • 理解 Cauchy 准则的」内部」判敛意义：无需知道极限值，只要验证项间距趋零即可。
**闭区间套定理**：设 {[an,bn]}\{[a_n,b_n]\} 满足 [a1,b1]⊃[a2,b2]⊃⋯[a_1,b_1]\supset[a_2,b_2]\supset\cdots（每个包含下一个），则 ⋂n=1∞[an,bn]≠∅\bigcap_{n=1}^{\infty}[a_n,b_n]\ne\emptyset；若还有 bn−an→0b_n-a_n\to 0，则交集恰好是一个点。证明：{an}\{a_n\} 单调递增有上界（b1b_1），{bn}\{b_n\} 单调递减有下界（a1a_1），由单调有界定理各自收敛，再由 bn−an→0b_n-a_n\to 0 知两个极限相等。**Cauchy 收敛准则**：数列 {xn}\{x_n\} 收敛   ⟺  \iff 它是 Cauchy 列，即 ∀ε>0,∃N\forall\varepsilon>0,\exists N，使 m,n>Nm,n>N 时 ∣xm−xn∣<ε|x_m-x_n|<\varepsilon。充分性证明：先用 Bolzano–Weierstrass 定理（Cauchy 列有界）取收敛子列，再由 Cauchy 条件推出全列收敛于同一极限。这两个定理都是从确界原理出发，通过」逐步构造+取极限」的方式证明。

练习

2 题
未学