第 7 章草稿

实数的完备性

本章把前几章」预告」过但未严格证明的几个核心定理补齐证明，同时揭示实数完备性的多种等价刻画。六个基本定理相互等价：确界原理（Dedekind 完备性）、单调有界定理（用于数列）、闭区间套定理（Cantor 定理）、Bolzano–Weierstrass 聚点定理、Cauchy 收敛准则、有限覆盖定理（Heine–Borel）。以确界原理为出发点，依次推导其他定理，并将闭区间上连续函数的有界性定理、最值定理、一致连续性定理、介值定理和零点定理严格证明。讲义、例子与题面均为自编或充分改写，公式用 LaTeX（四反斜线约定）。

5 个知识点

当前知识点

Bolzano–Weierstrass 定理

本节你将掌握

掌握 Bolzano–Weierstrass 定理：有界数列必有收敛子列。
理解聚点定理：有界无穷点集必有聚点。
能用 B–W 定理证明某些存在性结论。

**Bolzano–Weierstrass（B–W）定理**：实数轴上的有界数列

\{x_n\}

必有收敛的子列。证明策略（区间二分法）：设

\{x_n\}\subset[a,b]

，把

[a,b]

二分，必有某半段含无穷多项；在该半段选一项，再二分，再选……这样构造出一个闭区间套，由闭区间套定理得极限点

c

；该

c

正是某个子列的极限（在每个区间段内选出一项构成子列）。等价陈述（聚点形式）：有界无穷点集

A\subset\mathbb{R}

必有聚点（极限点）

c

，即

c

的任意邻域内含有

A

的无穷多点。B–W 定理是实变函数论、泛函分析的基础工具；在数学分析层面，它用于证明 Cauchy 准则的充分性、以及闭区间上连续函数的有界性定理。

练习

1 题

未学

Bolzano–Weierstrass 定理

思考题 · 检验理解