数学分析

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第 7 章草稿

实数的完备性

本章把前几章」预告」过但未严格证明的几个核心定理补齐证明，同时揭示实数完备性的多种等价刻画。六个基本定理相互等价：确界原理（Dedekind 完备性）、单调有界定理（用于数列）、闭区间套定理（Cantor 定理）、Bolzano–Weierstrass 聚点定理、Cauchy 收敛准则、有限覆盖定理（Heine–Borel）。以确界原理为出发点，依次推导其他定理，并将闭区间上连续函数的有界性定理、最值定理、一致连续性定理、介值定理和零点定理严格证明。讲义、例子与题面均为自编或充分改写，公式用 LaTeX（四反斜线约定）。

5 个知识点

当前知识点

一致连续性

本节你将掌握

  • 理解一致连续的定义：δ\delta 只依赖 ε\varepsilon，不依赖具体的点。
  • 区分逐点连续与一致连续：逐点连续的 δ\delta 可能依赖点，一致连续的 δ\delta 对全域一致。
  • 掌握 Cantor 定理：闭区间上的连续函数一致连续。
逐点连续的定义是：对每个 x0x_0，给定 ε>0\varepsilon>0，可找到 δ>0\delta>0（可能依赖 x0x_0）使 ∣x−x0∣<δ|x-x_0|<\delta 时 ∣f(x)−f(x0)∣<ε|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon。**一致连续**要求这个 δ\delta 对区间内所有点」统一有效」：对任给 ε>0\varepsilon>0，∃δ>0\exists\delta>0，使对**所有** x1,x2x_1,x_2 满足 ∣x1−x2∣<δ|x_1-x_2|<\delta 时都有 ∣f(x1)−f(x2)∣<ε|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon。量词区别：逐点连续 ∀ε∀x0∃δ⋯\forall\varepsilon\forall x_0\exists\delta\cdots；一致连续 ∀ε∃δ∀x1,x2⋯\forall\varepsilon\exists\delta\forall x_1,x_2\cdots——δ\delta 独立于 x0x_0。反例：f(x)=1/xf(x)=1/x 在 (0,1](0,1] 上逐点连续但非一致连续（越靠近 00 需要 δ\delta 越小）。**Cantor 定理**：若 f∈C[a,b]f\in C[a,b]（闭区间上连续），则 ff 在 [a,b][a,b] 上一致连续。证明用有限覆盖（Heine–Borel）或 B–W 定理的反证法。

练习

1 题
未学