数学分析

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第 7 章草稿

实数的完备性

本章把前几章」预告」过但未严格证明的几个核心定理补齐证明，同时揭示实数完备性的多种等价刻画。六个基本定理相互等价：确界原理（Dedekind 完备性）、单调有界定理（用于数列）、闭区间套定理（Cantor 定理）、Bolzano–Weierstrass 聚点定理、Cauchy 收敛准则、有限覆盖定理（Heine–Borel）。以确界原理为出发点，依次推导其他定理，并将闭区间上连续函数的有界性定理、最值定理、一致连续性定理、介值定理和零点定理严格证明。讲义、例子与题面均为自编或充分改写，公式用 LaTeX（四反斜线约定）。

5 个知识点

当前知识点

闭区间上连续函数的性质（严格证明）

本节你将掌握

  • 在第 4 章预览的基础上，给出最值定理（有界性+最大最小值）的严格证明。
  • 给出零点定理和介值定理的严格证明（基于确界原理或闭区间套）。
  • 理解为什么这些定理需要」闭区间」与」连续」两个条件，并能构造反例说明缺少条件时定理不成立。
**有界性定理**：若 f∈C[a,b]f\in C[a,b]，则 ff 有界。反证：若无上界，则存在 xn∈[a,b]x_n\in[a,b] 使 f(xn)>nf(x_n)>n；由 B–W 定理取 xnk→c∈[a,b]x_{n_k}\to c\in[a,b]；ff 在 cc 连续故 f(xnk)→f(c)f(x_{n_k})\to f(c) 有限，与 f(xnk)>nk→∞f(x_{n_k})>n_k\to\infty 矛盾。**最大值定理**：ff 在 [a,b][a,b] 有界，故 sup⁡[a,b]f=M\sup_{[a,b]}f=M 存在（确界原理）；存在 xn∈[a,b]x_n\in[a,b] 使 f(xn)→Mf(x_n)\to M（上确界逼近性）；B–W 取子列 xnk→c∈[a,b]x_{n_k}\to c\in[a,b]；ff 连续故 f(c)=Mf(c)=M，即最大值在 cc 处取到。**零点定理**：设 f(a)<0<f(b)f(a)<0<f(b)（不妨设），令 E={x∈[a,b]:f(x)<0}E=\{x\in[a,b]:f(x)<0\}，EE 非空有上界，c=sup⁡E∈[a,b]c=\sup E\in[a,b]；由连续性 f(c)=lim⁡x→cf(x)f(c)=\lim_{x\to c}f(x)；若 f(c)>0f(c)>0 或 <0<0 都导致矛盾，故 f(c)=0f(c)=0。**介值定理**：把 ff 换成 f−cf-c 应用零点定理。**条件不可缺**：开区间上的连续函数可以无界（1/x1/x 在 (0,1)(0,1)）；不连续函数在闭区间上可以没有最大值（Dirichlet 函数）。

练习

3 题
未学