数学分析

同步精读工作台

讲义 · 追问 · 练习 · 批改

第 1 章草稿

实数集与函数

4 个知识点

当前知识点

数集·确界原理

本节你将掌握

  • 理解上界、下界、上确界（supremum）、下确界（infimum）的定义
  • 掌握确界原理（完备性公理）及其应用
  • 能求简单集合的上下确界
**有界集**：A⊂RA\subset\mathbb{R} 有上界 ⇔∃M,∀x∈A,x≤M\Leftrightarrow\exists M,\forall x\in A,x\leq M；有下界 ⇔∃m,∀x∈A,x≥m\Leftrightarrow\exists m,\forall x\in A,x\geq m。
**上确界**（最小上界 sup⁡A\sup A）：β=sup⁡A⇔\beta=\sup A\Leftrightarrow
1. ∀x∈A,x≤β\forall x\in A,x\leq\beta（β\beta 是上界）；
2. ∀ε>0,∃x∈A,x>β−ε\forall\varepsilon>0,\exists x\in A,x>\beta-\varepsilon（β\beta 是最小上界，任何更小的数都不是上界）。
**下确界**（最大下界 inf⁡A\inf A）类似定义。
**确界原理**（完备性公理）：非空有上界的实数集必有上确界；非空有下界的实数集必有下确界。（这是实数完备性的一种等价描述，有理数集不满足此性质！）
**例**：
- A={x: 0<x<1}A=\{x:\,0<x<1\}：sup⁡A=1∉A\sup A=1\notin A，inf⁡A=0∉A\inf A=0\notin A（开区间，确界不属于集合）。
- A={(−1)n+1/n: n∈N+}={0,3/2,2/3,5/4,4/5,…}A=\{(-1)^n+1/n:\,n\in\mathbb{N}^+\}=\{0,3/2,2/3,5/4,4/5,\ldots\}：sup⁡A=3/2\sup A=3/2（n=2n=2 时取到），inf⁡A=0\inf A=0（通过 n=2k−1,n→∞n=2k-1,n\to\infty 趋近但不取到）。

练习

2 题
未学