数学分析

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第 1 章草稿

实数集与函数

4 个知识点

当前知识点

函数的特性：单调、奇偶、有界、周期

本节你将掌握

  • 掌握函数的四种特性的定义与判断
  • 能利用特性简化计算（奇偶函数的积分对称性等）
  • 了解各特性之间的关系
**单调性**：ff 在 II 上单调递增 ⇔∀x1,x2∈I,x1<x2⇒f(x1)<f(x2)\Leftrightarrow\forall x_1,x_2\in I,x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)（严格；非严格则为 ≤\leq）。
**有界性**：ff 在 DD 上有界 ⇔∃M>0,∀x∈D,∣f(x)∣≤M\Leftrightarrow\exists M>0,\forall x\in D,|f(x)|\leq M。有上界（f(x)≤Mf(x)\leq M）、有下界（f(x)≥mf(x)\geq m）类似。
**奇偶性**：定义域关于原点对称（D=−DD=-D，即 x∈D⇒−x∈Dx\in D\Rightarrow-x\in D）。
- 偶函数：f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)，图像关于 yy 轴对称。
- 奇函数：f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x)，图像关于原点对称；若 0∈D0\in D，则 f(0)=0f(0)=0。
**运算**：奇×\times奇==偶，偶×\times偶==偶，奇×\times偶==奇，奇++奇==奇，偶++偶==偶（奇++偶一般不是奇或偶）。
**周期性**：f(x+T)=f(x)f(x+T)=f(x)（∀x∈D\forall x\in D，T>0T>0）；最小正周期（若存在）称为**基本周期**。注意：常数函数有任意正周期，但通常不称有基本周期。
**例**：sin⁡x\sin x 基本周期 2π2\pi；∣sin⁡x∣|\sin x| 基本周期 π\pi（注意减半）；Dirichlet 函数 D(x)=1Q(x)D(x)=\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x) 以任意有理数为周期（无最小正周期）。

练习

2 题
未学