数学分析

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第 2 章样板完成

数列极限

数列极限是数学分析的第一个核心概念，它用 epsilon-N 语言把“无限趋近”这一直观转化为精确的数学命题。本章先建立极限的直观，再给出严格定义，随后讨论收敛数列的基本性质（唯一性、有界性、保号性、四则运算），最后给出极限存在的两个判定工具（单调有界定理、子列方法）。

8 个知识点

当前知识点

数列与数列极限直观

本节你将掌握

  • 理解数列是定义在正整数集上的函数，能写出通项并计算前若干项。
  • 能用“随着 n 增大，x_n 越来越接近某个常数”的直观描述判断一个数列是否可能收敛。
  • 认识到“接近”需要被精确刻画，为引入 epsilon-N 定义做准备。
数列就是按正整数顺序排好的一串数 x1,x2,x3,…x_1, x_2, x_3, \dots，记作 {xn}\{x_n\}，其中 xnx_n 称为通项。我们关心的是当 nn 不断增大时 xnx_n 的“走向”。例如 xn=1nx_n=\frac{1}{n} 的项 1,12,13,…1,\frac12,\frac13,\dots 越来越接近 00；而 xn=(−1)nx_n=(-1)^n 在 −1-1 和 11 之间反复跳动，没有单一的趋近目标。直观上“收敛到 aa”是指：当 nn 充分大以后，xnx_n 与 aa 的距离要多小有多小。这个直观必须被精确化，否则“越来越接近”无法用来证明任何命题。

练习

1 题
未学