数学分析

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第 2 章样板完成

数列极限

数列极限是数学分析的第一个核心概念，它用 epsilon-N 语言把“无限趋近”这一直观转化为精确的数学命题。本章先建立极限的直观，再给出严格定义，随后讨论收敛数列的基本性质（唯一性、有界性、保号性、四则运算），最后给出极限存在的两个判定工具（单调有界定理、子列方法）。

8 个知识点

当前知识点

epsilon-N 定义

本节你将掌握

  • 准确陈述数列极限的 epsilon-N 定义，理解量词顺序 ∀ε>0 ∃N ∀n>N 的含义。
  • 理解 N 一般依赖于 ε，能在简单例子中由 ε 求出一个可行的 N。
  • 能用定义证明简单数列的极限，如 lim 1/n = 0。
数列极限的精确定义把“接近”翻译成不等式：lim⁡n→∞xn=a\lim_{n\to\infty} x_n = a 意思是，对任意给定的精度 ε>0\varepsilon>0，都存在一个起始项号 NN，使得从第 NN 项之后（即所有 n>Nn>N）都有 ∣xn−a∣<ε|x_n-a|<\varepsilon。这里 ε\varepsilon 代表“任意小的精度要求”，由对方任意给出；NN 是我们为达到该精度而找到的“足够大”的项号，通常 ε\varepsilon 越小所需的 NN 越大。量词顺序不可交换：先有任意的 ε\varepsilon，再找与之匹配的 NN。证明 lim⁡1/n=0\lim 1/n=0 时，要让 ∣1/n−0∣=1/n<ε|1/n-0|=1/n<\varepsilon，只需 n>1/εn>1/\varepsilon，故取 N=⌈1/ε⌉N=\lceil 1/\varepsilon\rceil 即可。

练习

3 题
未学