数学分析

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第 2 章样板完成

数列极限

数列极限是数学分析的第一个核心概念，它用 epsilon-N 语言把“无限趋近”这一直观转化为精确的数学命题。本章先建立极限的直观，再给出严格定义，随后讨论收敛数列的基本性质（唯一性、有界性、保号性、四则运算），最后给出极限存在的两个判定工具（单调有界定理、子列方法）。

8 个知识点

当前知识点

收敛数列的唯一性

本节你将掌握

  • 理解收敛数列的极限若存在必唯一。
  • 掌握用反证法 + epsilon 取 |a−b|/2 证明唯一性的标准手法。
如果一个数列既收敛到 aa 又收敛到 bb，那么 a=ba=b。直观上：数列最终要落入 aa 的任意小邻域，也要落入 bb 的任意小邻域，若 a≠ba\ne b，取足够小的邻域使两者不相交，数列就无法同时落入两个不相交的邻域，矛盾。严格证明用反证法：设 a≠ba\ne b，取 ε=∣a−b∣2>0\varepsilon=\frac{|a-b|}{2}>0，由两个极限分别得到 N1,N2N_1,N_2，当 n>max⁡(N1,N2)n>\max(N_1,N_2) 时同时有 ∣xn−a∣<ε|x_n-a|<\varepsilon 和 ∣xn−b∣<ε|x_n-b|<\varepsilon，于是 ∣a−b∣≤∣xn−a∣+∣xn−b∣<2ε=∣a−b∣|a-b|\le|x_n-a|+|x_n-b|<2\varepsilon=|a-b|，得 ∣a−b∣<∣a−b∣|a-b|<|a-b|，矛盾。

练习

1 题
未学