数学分析

同步精读工作台

讲义 · 追问 · 练习 · 批改

第 2 章样板完成

数列极限

数列极限是数学分析的第一个核心概念，它用 epsilon-N 语言把“无限趋近”这一直观转化为精确的数学命题。本章先建立极限的直观，再给出严格定义，随后讨论收敛数列的基本性质（唯一性、有界性、保号性、四则运算），最后给出极限存在的两个判定工具（单调有界定理、子列方法）。

8 个知识点

当前知识点

收敛数列的有界性

本节你将掌握

  • 理解“收敛 ⇒ 有界”，并知道其逆命题不成立。
  • 掌握把无穷多项分成“有限项 + 落入邻域的项”两部分来证明有界的手法。
收敛数列必有界，即存在 M>0M>0 使所有 ∣xn∣≤M|x_n|\le M。证明思路：取 ε=1\varepsilon=1，则存在 NN 使 n>Nn>N 时 ∣xn−a∣<1|x_n-a|<1，从而 ∣xn∣<∣a∣+1|x_n|<|a|+1；剩下的 x1,…,xNx_1,\dots,x_N 只有有限项，取 M=max⁡{∣x1∣,…,∣xN∣,∣a∣+1}M=\max\{|x_1|,\dots,|x_N|,|a|+1\} 即可界住全部项。注意逆命题不成立：有界不一定收敛，如 xn=(−1)nx_n=(-1)^n 有界（界为 1）但发散。因此有界性只是收敛的必要条件，常用于反证某数列不收敛（无界 ⇒ 发散）。

练习

1 题
未学