数学分析

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第 2 章样板完成

数列极限

数列极限是数学分析的第一个核心概念，它用 epsilon-N 语言把“无限趋近”这一直观转化为精确的数学命题。本章先建立极限的直观，再给出严格定义，随后讨论收敛数列的基本性质（唯一性、有界性、保号性、四则运算），最后给出极限存在的两个判定工具（单调有界定理、子列方法）。

8 个知识点

当前知识点

收敛数列的四则运算

本节你将掌握

  • 掌握极限的和、差、积、商运算法则及其成立条件。
  • 理解商的法则要求分母极限非零，并能用四则运算法则计算具体极限。
若 lim⁡xn=a\lim x_n=a，lim⁡yn=b\lim y_n=b，则：和差 lim⁡(xn±yn)=a±b\lim(x_n\pm y_n)=a\pm b；积 lim⁡(xnyn)=ab\lim(x_n y_n)=ab；商在 b≠0b\ne 0 时 lim⁡xnyn=ab\lim\frac{x_n}{y_n}=\frac{a}{b}。证明的关键工具是三角不等式与“收敛 ⇒ 有界”。例如积的证明：∣xnyn−ab∣=∣xnyn−xnb+xnb−ab∣≤∣xn∣∣yn−b∣+∣b∣∣xn−a∣|x_n y_n-ab|=|x_n y_n-x_n b+x_n b-ab|\le|x_n||y_n-b|+|b||x_n-a|，利用 {xn}\{x_n\} 有界（设界为 MM）即可控制。计算时常用变形把 ∞/∞\infty/\infty 或 ∞−∞\infty-\infty 型化为可用法则的形式，例如 3n2+12n2−n=3+1/n22−1/n→32\frac{3n^2+1}{2n^2-n}=\frac{3+1/n^2}{2-1/n}\to\frac{3}{2}。

练习

2 题
未学