数学分析

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第 2 章样板完成

数列极限

数列极限是数学分析的第一个核心概念，它用 epsilon-N 语言把“无限趋近”这一直观转化为精确的数学命题。本章先建立极限的直观，再给出严格定义，随后讨论收敛数列的基本性质（唯一性、有界性、保号性、四则运算），最后给出极限存在的两个判定工具（单调有界定理、子列方法）。

8 个知识点

当前知识点

单调有界收敛定理

本节你将掌握

  • 掌握单调有界定理：单调递增有上界（或递减有下界）的数列必收敛。
  • 理解该定理依赖实数的完备性（确界原理）。
  • 能用它处理递推数列与 e 的存在性等典型问题。
单调有界定理：若数列 {xn}\{x_n\} 单调递增且有上界，则 {xn}\{x_n\} 收敛，且极限等于其上确界 sup⁡nxn\sup_n x_n；单调递减且有下界时收敛于下确界。它是判断极限存在的有力工具，因为无需事先知道极限值。证明依据确界原理：递增有上界数列有上确界 a=sup⁡xna=\sup x_n，由上确界定义，对任意 ε>0\varepsilon>0 存在某项 xN>a−εx_N>a-\varepsilon，又因单调递增且 aa 是上界，n>Nn>N 时 a−ε<xN≤xn≤aa-\varepsilon<x_N\le x_n\le a，即 ∣xn−a∣<ε|x_n-a|<\varepsilon。典型应用：证明 (1+1n)n\left(1+\frac1n\right)^n 单调递增且有上界，从而极限存在并定义为 ee；或处理递推 xn+1=2+xnx_{n+1}=\sqrt{2+x_n} 这类数列。

练习

2 题
未学