数学分析

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第 2 章样板完成

数列极限

数列极限是数学分析的第一个核心概念，它用 epsilon-N 语言把“无限趋近”这一直观转化为精确的数学命题。本章先建立极限的直观，再给出严格定义，随后讨论收敛数列的基本性质（唯一性、有界性、保号性、四则运算），最后给出极限存在的两个判定工具（单调有界定理、子列方法）。

8 个知识点

当前知识点

子列与收敛性

本节你将掌握

  • 理解子列的定义及“收敛 ⇔ 任一子列都收敛于同一极限”。
  • 掌握用两个子列趋于不同极限来证明数列发散的方法。
子列是从原数列中按严格递增的下标 n1<n2<⋯n_1<n_2<\cdots 取出的数列 {xnk}\{x_{n_k}\}。基本定理：数列 {xn}\{x_n\} 收敛于 aa 当且仅当它的任一子列都收敛于 aa。一个常用推论用于证明发散：若能找到两个子列分别收敛到不同的极限，则原数列发散。例如 xn=(−1)nx_n=(-1)^n，偶子列 x2k=1→1x_{2k}=1\to1，奇子列 x2k+1=−1→−1x_{2k+1}=-1\to-1，两者不等，故发散。注意奇偶子列方向：若奇、偶两个子列都收敛到同一个 aa，则原数列收敛到 aa。此外，致密性定理（魏尔斯特拉斯）指出：任何有界数列必有收敛子列，这是后续完备性理论的重要桥梁。

练习

1 题
未学