数学分析

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第 22 章草稿

曲面积分

4 个知识点

当前知识点

第一型曲面积分（对面积的积分）

本节你将掌握

  • 理解第一型曲面积分 ∬Sf dS\iint_S f\,\mathrm{d}S 的定义与物理意义（曲面质量）
  • 掌握将第一型曲面积分化为二重积分的计算方法
  • 能计算显式曲面 z=z(x,y)z=z(x,y) 上的面积积分
**第一型曲面积分定义**：∬Sf(x,y,z) dS\iint_S f(x,y,z)\,\mathrm{d}S，其中 dS\mathrm{d}S 为曲面面积元素，与曲面法向量方向无关。
**计算公式**（显式 z=z(x,y)z=z(x,y)）：
dS=1+zx2+zy2 dx dy,\mathrm{d}S=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y,

∬Sf(x,y,z) dS=∬Dxyf(x,y,z(x,y))1+zx2+zy2 dx dy.\iint_S f(x,y,z)\,\mathrm{d}S=\iint_{D_{xy}}f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y.

其中 DxyD_{xy} 为曲面在 xyxy 平面的投影区域。
**参数曲面**（r=r(u,v)\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(u,v)）：dS=∣ru×rv∣ du dv\mathrm{d}S=|\boldsymbol{r}_u\times\boldsymbol{r}_v|\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v。
**特殊情形**：
- 球面 x2+y2+z2=R2x^2+y^2+z^2=R^2：dS=R2sin⁡φ dφ dθ\mathrm{d}S=R^2\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta（参数化 (φ,θ)(\varphi,\theta)）。
- 曲面面积：A=∬S dS=∬Dxy1+zx2+zy2 dx dyA=\iint_S\,\mathrm{d}S=\iint_{D_{xy}}\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y。
**物理意义**：若 ff 为面密度，∬Sf dS\iint_S f\,\mathrm{d}S 为曲面薄片的质量；f=1f=1 时为面积。

练习

2 题
未学