数学分析

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第 22 章草稿

曲面积分

4 个知识点

当前知识点

第二型曲面积分（对坐标的积分）

本节你将掌握

  • 理解第二型曲面积分 ∬SP dy dz+Q dz dx+R dx dy\iint_S P\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z+Q\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}x+R\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y 的定义与物理意义（流量）
  • 掌握第二型曲面积分化为二重积分的计算（需注意法向量方向和正负号）
  • 理解两型曲面积分的关系
**第二型曲面积分**：∬SF⋅ dS=∬SP dy dz+Q dz dx+R dx dy\iint_S\boldsymbol{F}\cdot\,\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\iint_S P\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z+Q\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}x+R\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y，其中 dS=n dS\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\boldsymbol{n}\,\mathrm{d}S（n\boldsymbol{n} 为单位外法向量）。物理意义：向量场 F=(P,Q,R)\boldsymbol{F}=(P,Q,R) 通过曲面的**流量**。
**与方向有关**：反向曲面 −S-S 的积分取负号：∬−S=−∬S\iint_{-S}=-\iint_S。
**化为二重积分**（曲面 z=z(x,y)z=z(x,y)，取上侧，法向量朝上）：
∬SR(x,y,z) dx dy=∬DxyR(x,y,z(x,y)) dx dy\iint_S R(x,y,z)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\iint_{D_{xy}}R(x,y,z(x,y))\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y

（取下侧则加负号）。类似地：
∬SP dy dz=∓∬DyzP(x(y,z),y,z) dy dz\iint_S P\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z=\mp\iint_{D_{yz}}P(x(y,z),y,z)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z

（∓\mp：法向量朝前取 −-，朝后取 ++，具体看曲面方程和投影方向）。
**两型积分关系**：若 n=(cos⁡α,cos⁡β,cos⁡γ)\boldsymbol{n}=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma) 为单位外法向量：
∬SP dy dz+Q dz dx+R dx dy=∬S(Pcos⁡α+Qcos⁡β+Rcos⁡γ) dS.\iint_S P\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z+Q\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}x+R\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\iint_S(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\,\mathrm{d}S.

练习

2 题
未学