数学分析 · 同步精读工作台

当前知识点

高斯公式与斯托克斯公式

本节你将掌握

**高斯公式**：设

\Omega

为空间有界闭区域，

\partial\Omega

为其外表面（外法向量为正方向），

P,Q,R

在

\Omega

上有连续偏导数：

\oiint_{\partial\Omega}P\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z+Q\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}x+R\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\iiint_\Omega\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\,\mathrm{d}V.

即：封闭曲面的通量

=

内部散度的体积分。
**散度**：

\mathrm{div}\,\boldsymbol{F}=\nabla\cdot\boldsymbol{F}=P_x+Q_y+R_z

（衡量向量场的」源强度」）。
**高斯公式应用**：补面法（遇到非封闭曲面时补齐成封闭面，减去补面的贡献）；含奇点时挖球。
**斯托克斯公式**：设

S

为有向曲面，

\partial S

为其边界曲线（方向与

S

法向量成右手系）：

\oint_{\partial S}P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y+R\,\mathrm{d}z=\iint_S\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\mathrm{d}z\,\mathrm{d}x+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y.

记忆：

\iint_S(\nabla\times\boldsymbol{F})\cdot\,\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\oint_{\partial S}\boldsymbol{F}\cdot\,\mathrm{d}\boldsymbol{r}

。
**旋度**：

\mathrm{rot}\,\boldsymbol{F}=\nabla\times\boldsymbol{F}=\det\begin{pmatrix}\boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\\partial_x&\partial_y&\partial_z\\P&Q&R\end{pmatrix}

（衡量向量场的」旋转强度」）。
**Green 公式为特例**：取

S

为

z=0

的平面区域，斯托克斯退化为

\oint_{\partial D}P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y=\iint_D(Q_x-P_y)\,\mathrm{d}A

（Green 公式）。