数学分析 · 同步精读工作台

当前知识点

场论初步

本节你将掌握

**三大场论运算**（

\boldsymbol{F}=(P,Q,R)

，

u

为标量场）：
- **梯度**：

\mathrm{grad}\,u=\nabla u=(u_x,u_y,u_z)

（指向增长最快方向）。
- **散度**：

\mathrm{div}\,\boldsymbol{F}=\nabla\cdot\boldsymbol{F}=P_x+Q_y+R_z

。
- **旋度**：

\mathrm{rot}\,\boldsymbol{F}=\nabla\times\boldsymbol{F}

（向量）。
**重要恒等式**：
-

\mathrm{div}(\mathrm{rot}\,\boldsymbol{F})=\nabla\cdot(\nabla\times\boldsymbol{F})=0

（旋度无散）。
-

\mathrm{rot}(\mathrm{grad}\,u)=\nabla\times\nabla u=\boldsymbol{0}

（梯度无旋）。
**无旋场（保守场）**：

\boldsymbol{F}=\nabla u

（有势函数

u

）的充要条件：

\nabla\times\boldsymbol{F}=\boldsymbol{0}

（单连通域中等价于线积分路径无关）。
**调和函数**：满足

\Delta u=\nabla^2 u=u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=0

的函数（Laplace 方程），是位势理论的基础。
**Laplace 算子**：

\Delta=\nabla\cdot\nabla=\partial_{xx}+\partial_{yy}+\partial_{zz}

；调和函数如静电势、稳态温度场。
**Green 恒等式**（高斯公式推论）：

\iiint_\Omega u\Delta v\,\mathrm{d}V=\oiint_{\partial\Omega}u\frac{\partial v}{\partial n}\,\mathrm{d}S-\iiint_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,\mathrm{d}V

。